MATLAB应用——数据分析与统计

数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁，它已经渗透到各个领域，而且发挥出越来越重要的作用。面对自然科学和工程应用中的难题，大部分人无从入手，而个别人却能短时间内给出切实可行的解决方案，其差别往往在于驾驭数学知识的能力不同。现代计算机技术的应用不仅减少了计算错误，而且加强了数学应用者解决问题的能力。MATLAB是一款常用的数据处理软件，为了更好的应用MATLAB软件，我将整理好的MATLAB函数分享到今日头条上，以利己利人查阅。

MATLAB提供的很多数据分析与统计函数都是面向列的，即矩阵中的每一列代表一个变量的多个观测值，其列数对应于变量数，行数对应于测量点数。

max和min函数可求出数据的最大值和最小值，mean和std函数可求出数据的均值和标准差，sum和prod函数可求出数据元素和与数据元素积。例如，对MATLAB内含的某城市24小时的车流量数据count.dat可作分析：

/ F0 q- Q. S& ]6 ^7 s+ o" f

load count.dat

mx=max(count)

mx = 114 145 257

' f2 R9 V' O* a: _$ p

mu=mean(count)

: `6 T$ T" e5 @* x

mu = 32.0000 46.5417 65.5833

sigma=std(count)

sigma = 25.3703 41.4057 68.0281

# G( R7 ?9 S% v

对有些函数还可给出位置，例如，在求出最小值的同时，可得到最小值所在的位置(行号)：

; |* T! i) F1 S4 H- @

[mx,indx]=min(count)

mx = 7 9 7

indx = 2 23 24

1、协方差和相关系数

o" B& W. S: l% F$ n2 i* R$ T* K

cov函数可以求出单个变量的协方差，而corrcoef函数可求出两个变量之间的相关系数，例如：

cv=cov(count)

! e: K j N) ^, s2 \- W9 T

cv = 1.0e+003 *

+ O9 R8 j7 ^5 h9 \6 ?

0.6437 0.9802 1.6567

0.9802 1.7144 2.6908

7 Z+ g- M6 n2 z# S# f' o8 e0 o

1.6567 2.6908 4.6278

& D: k+ D4 {$ r

cr=corrcoef(count)

cr =

1.0000 0.9331 0.9599

0.9331 1.0000 0.9553

z3 ?. Y6 b% B8 w8 @1 A: D

0.9599 0.9553 1.0000

2、数据预处理

在MATLAB中遇到超出范围的数据时均用NaN (非数值) 表示，而且在任何运算中，只要包含NaN，就将它传递到结果中，因此在对数据进行分析前，应对数据中出现的NaN作剔除处理。例如：

/ P6 P7 x. x/ Q1 m n

a=[1 2 3;5 NaN 8;7 4 2];

8 A* M: s$ I- g; J2 {% z

sum(a)

ans = 13 NaN 13

+ z9 A b8 q! ^( w; l( v0 Q

在矢量x中删除NaN元素，可有下列四种方法：

(1)  i=find(~isnan(x))；x=x(i)。

1 r" X, L" l5 Q4 m. y

(2)  x=x(find(~isnan(x)))。

1 L# z% L& O J- q* j

(3)  x=x(~isnan(x))。

(4)  x(isnan(x))=[ ]。

在矩阵X中删除NaN所在的行，可输入

+ W& v$ x( Z$ {

X(any(isnan(X))，：)=[ ]；

6 p0 T# @, l% L2 j4 [

经过这种预处理后的数据，可进行各种分析和统计操作。

# G9 N& Q7 i2 a& S" R* j' I+ I4 T

3、回归和曲线拟合

对给定的数据进行拟合，可采用多项式回归，也可采用其它信号形式的回归，其基本原理是最小二乘法，这一功能实现在MATLAB中显得轻而易举。

例1：设通过测量得到一组时间t与变量y的数据：

6 Y) x, Y3 w* L ]' O- O

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

y=[0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40];

/ G5 a8 R- k5 t2 Q

/ S$ | J$ ~+ R: m" S

进行回归，可得到两种不同的结果。MATLAB程序如下：

t=[0 .3 .8 1.1 1.6 2.3];

y=[.5 .82 1.14 1.25 1.35 1.40];

+ {" l' M: _* g( X* G

X1=[ones(size(t)) t t.^2];

a=X1\y;

X2=[ones(size(t)) exp(–t) t.*exp(–t)];

$ f) ]/ z) e: s) C

b=X2\y;

T=[0:.1:2.5];

* u2 E" @/ z G% b; ^: E5 T

Y1=[ones(size(T)) T T.^2]*a;

4 k) s* k7 c* ~; k4 t* v

Y2=[ones(size(T)) exp(-T) T.*exp(-T)]*b;

; w2 [$ b: |; I7 c- i; l

figure(1)

0 ]& B( n$ P: ^/ d) w: h

subplot(1,2,1)

# z7 `$ D. a3 C+ `- Q

plot(T,Y1,-,t,y,o),grid on

title(多项式回归)

u8 p6 b7 `. L1 b. A0 i* Q; D

subplot(1,2,2)

$ P& H, n! j' a; w

plot(T,Y2,-,t,y,o),grid on

! `+ u1 n) h" g& |3 E7 @4 U* U0 v2 L

title(指数函数回归)

6 d5 ]2 ` z& B+ m* a& u- c

例2 已知变量y与x1，x2有关，测得一组数据为

　　x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1 ];

+ \5 f8 _2 t, x% w7 _

　　x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4 ];

K7 ~) w( }1 N

　　y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

采用来拟合，则有

% N% c3 Y8 k; E5 p: Y- a

x1=[.2 .5 .6 .8 1.0 1.1];

x2=[.1 .3 .4 .9 1.1 1.4];

y=[.17 .26 .28 .23 .27 .24];

X=[ones(size(x1)) x1 x2];

) \: [/ W& e! n' G) [- T4 \, b( R

a=X\y

7 r4 \8 A- I e4 z0 A% i

a = 0.1018 0.4844 −0.2847

因此数据的拟合模型为

t% R/ B/ |0 _/ _" Y8 q

y=0.1018+0.4844x1−0.2487x2

$ H, m' W3 r8 U7 {% j; G- q2 P4 a; U

4、傅里叶分析与FFT

, r7 ^7 n; |4 |9 ~8 f; t$ Q

利用MATLAB提供的FFT函数可方便地计算出信号的傅里叶变换，从而在频域上对信号进行分析。

例1 ：混合频率信号成分分析。有一信号x由三种不同频率的正弦信号混合而成，通过得到信号的DFT，确定出信号的频率及其强度关系，程序如下：

5 R6 H& t/ M4 E

t=0:1/119:1;

: Q1 i! a2 @' C6 Q# A/ s

x=5*sin(2*pi*20*t)+3*sin(2*pi*30*t)+sin(2*pi*45*t);

$ g) R6 l, O( w" r; t. r

y=fft(x);

m=abs(y);

f=(0:length(y) -1)*119/length(y);

' ^; C8 R! U- B: u5 h

figure(1)

/ ~: O0 e- E8 ]

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(多频率混合信号)

' b x) @( b D; S3 O

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

5 b& [5 y0 H& `) m

subplot(2,1,2),plot(f,m)

( e& H: X* J, o# J6 Y }

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

& c" ~* Y- a* K6 v" N. w# d

xlabel(Frequency (Hertz))

例2 ：信号在传输过程中，由于受信道或环境影响，在接收端得到的是噪声环境下的信号。我们利用FFT函数对这一信号进行傅里叶分析，从而确定信号的频率，程序如下：

t=0:1/199:1;

; T* Z, ]6 b+ E

x=sin(2*pi*50*t)+1.2*randn(size(t)); ％噪声中的信号

y=fft(x);

' e7 d" H1 X9 Z6 ~& Q7 \" c

m=abs(y);

# a7 x7 H U1 Z) q, Y. `

f=(0:length(y) -1)*199/length(y);

figure(1)

: B0 ]; A& \0 P0 @2 r. b% }

subplot(2,1,1),plot(t,x),grid on

title(信号检测)

ylabel(Input \itx),xlabel(Time )

4 Q7 v! s' T$ u( r# p' U& W1 ] Q

subplot(2,1,2),plot(f,m)

ylabel(Abs. Magnitude),grid on

xlabel(Frequency (Hertz))

- K- t. k" @' u- y4 }+ Z

& e' N( @, Y) P- i: {: E F

例3 ：天文学家记录了300年来太阳黑子的活动情况，我们对这组数据进行傅里叶分析，从而得出太阳黑子的活动周期。MATLAB程序如下：

Z5 [0 o. ] S E9 e" ^' x

load sunspot.dat

year=sunspot(:,1);

wolfer=sunspot(:,2);

figure(1)

6 K% r0 A w: e6 q. p1 {. z. x

subplot(2,1,1)

plot(year,wolfer)

. h* i5 F# ]5 q. ?5 ?

title(原始数据)

8 u8 v' k9 W8 ~* _0 l, l4 B

Y=fft(wolfer);

6 u1 H8 [ m" A. T3 Z. i5 q

N=length(Y);

8 Y s$ n1 N+ d J+ D

Y(1)=[];

) r- K* x1 v3 \1 v

power=abs(Y(1:N/2)).^2;

nyquist=1/2;

freq=(1:N/2)/(N/2)*nyquist;

' X( V7 [" t; E, @. t9 p

period=1./freq;

subplot(2,1,2)

% g- v6 s- g4 b7 k8 P( ~

plot(period,power)

title(功率谱), grid on

+ d# k0 A2 @5 D5 H

axis([0 40 0 2e7])

) M1 [/ R5 k. O$ h0 U+ g9 ~/ ` r

各位读者朋友，感谢您的阅读，您若对工程应用中的数学问题感兴趣，欢迎关注我，愿我们一起讨论和成长！！！

) ?1 M' k2 U; q$ n$ @ F 2 e( \1 _+ Q' o7 t* P$ U. Q, `8 p